Introducere in optiuni. Partea a II-a : Evaluarea optiunilor si coeficientii lor

[English version] [MQLmagazine.com in english]

The evolution of option valuation models in time

Ca orice alte active tranzactionate pe o piata, optiunile trec printr-un proces de evaluarea. Traderii altor active se hotarasc folosind analiza tehnica, analizeaza evoluta trecuta a preturilor pentru previziona evolutia pentru viitor, dar cand piatele optiunilor au fost create, traderii n-aveau nicio idee despre cum se formeaza pretul pentru acestea. Acela a fost momentul lansarii primului model de evaluare a optiunilor, modelul Black-Scholes, folosit pe scara larga chiar si astazi, in ciuda limitelor sale. Odata ce traderii au avut un model, chiar si departe de perfectiune, optiunile au putut fi evaluate si au putut avea o piata. Dupa aparitia fiecarei optiuni noi, rolul modelului este acela de a spune cand optiunile sunt supracumparate sau supravandute. Totusi, cei mai importanti factori in tradingul cu optiuni sunt coeficientii optiunilor (greeks) -pentru ca sunt notati cu litere grecesti- , sensibilitati ale pretului optiunii fata de diferiti parametri, care dau posibilitatea construirii unor strategii de trading complet diferite de cele date de situatiile de supracumparare/supravanzare sau decat cele simple bazate pe estimarile activului suport. Dar din nou, aceste sensibilitati sunt rezultante ale modelului de evaluare si ele. Sa trecem in revista modelele de evaluare…

Modelul Black-Scholes
Denumit si “bunicul” modelelor de evaluare a optiunilor, a fost primul si este si cel mai folosit. A fost facut de Fischer Black si Myron Scholes in 1973 si le-a adus Premiul Nobel pentru Economie in 1997. Limitele lui sunt:
a. poate fi folosit doar pentru optiuni europene (cele care nu admit exercitarea pe perioada de viata);
b. volatilitatea implicita (volatilitatea pusa in model care da o valoare a optiunii egala cu pretul) e considerata constanta;
c. nu exista plati de dividende pe durata de viata a optiunii.

Modelul binomial
Este bazat pe aceleasi presupuneri ca modelul Black-Scholes, dar ajustat ca sa permita evaluarea optiunilor americane ; de asemenea, are o mai buna integritate in timp. Sparge intervalul pana la expirare intr-o serie de pasi , construind un arbore de preturi ale activului suport. La fiecare pret, activul suport este considerat a merge in sus sau in jos. Totusi, nu pune pret pe faptul ca pietele in cea mai mare parte a timpului nu se misca. Aceasta este limita peste care trece urmatorul model, modelul trinomial, care tine cont de faptul ca pietele pot sta pe loc. Acest model ia in consideratie si zambetul volatilitatii (volatility smile), care nu este prezent in modelele precedente. Pentru ca modelul trinomial a mers foarte bine, cineva a venit cu ideea de a folosi mai multe noduri, si astfel a aparut modelul retelei adaptive.

Modelul VSK este nou, diferit de celelalte modele. Inseamna Volatilitate, Balans si Kurtosis (Volatilitaty, Skewness and Kurtosis). Modelele precedente au considerat comportamentul actiunilor ca inscriindu-se pe o distributie normala. Dar distributia poate sa fie diferita , si modelul trebuie sa fie ajustat pentru balans (skewness) care este o balansare a mediei (media nu este in mijlocul campului de evenimente), si kurtosis , care este ingrosarea marginilor curbei distributiei. Modelul este Black-Scholes ajustat pentru volatilitate, balans si kurtosis.

Distributii

Modelul diferenta finita este capabil sa calculeze suprafata volatilitatii determinata de balans si kurtosis.

Un model de optiuni calculeaza valoarea optiunii, precum si coeficientii, greeks.

In acest articol folosesc si comentez imagini de la OptionTradingTips.com (site-uri de statistica sunt sursa pentru imaginile distributiilor). O buna sursa de educatie sunt si cursurile Options University de Ron Ianieri.

Delta

Delta este prima derivata a valorii optiunii, indicand cat din valoarea optiunii trebuie sa se modifice la o modificare a pretului underlying. De aceea delta este numit modificare procentuala. Delta este si sansa procentuala , valoare indicand care este sansa optiunii sa expire in bani. Delta este in acelasi timp ratie de acoperire (hedge ratio) , indicand cat activ suport trebuie cumparat/vandut ca sa egalizeze miscarea in pretul optiunii. Delta-urile sunt aditive. Delta unui portfoliu de optiuni este facuta din mai multe optiuni pe acelasi activ suport, el fiind suma delta-urilor optiunilor individuale inmultite cu marimea pozitiilor. Acest gen de delta este numita delta de pozitie. Daca includem si activul suport in portfoliu, putem spune ca acesta are un delta egal cu 1.

Delta optiunii

Delta

Delta de Call fata de pretul activului suport

Delta de Put fata de pretul activului suport

Priveste atent aceste imagini. Imaginile doi si trei par a se contrazice cu prima, dar in prima axa orizontala este statutul de “bani” al optiunii, pe cand in doi si trei axa orizontala este pretul activului suport. Delta este cuprinsa intre 0 si 1 pentru optiunile Call, si intre 0 si -1 pentru optiunile Put. De mentionat ca exista si notatia procentuala pentru optiuni, iar delta-urile pot fi intre 100 si -100. Cu cat optiunile sunt mai in afara banilor, cu atat delta este mai aproape de zero, pentru ca optiunile acelea sunt cele mai insensibile la miscarile activului suport ; cu cat optiunile sunt mai in bani, cu atat mai indepartate sunt valorile pe care le ia, pentru ca aceste optiuni aproape copiaza miscarea activului suport. De asemenea, suma dintre delta unui Call si valoarea absoluta a deltei put-ului corespondent trebuie sa dea 1 (sau 100, exprimare procentuala).

Delta de Call si scadente

Pret Exercitiu Jun Jul Oct Jan
25 1.00 0.99 0.94 0.90
35 0.80 0.80 0.78 0.77
45 0.60 0.61 0.63 0.64
55 0.40 0.42 0.48 0.51
65 0.20 0.23 0.33 0.38
75 0.00 0.04 0.18 0.26

Delta de Put si scadente

Pret Exercitiu Jun Jul Oct Jan
25 0.00 -0.01 -0.06 -0.10
35 -0.20 -0.20 -0.21 -0.23
45 -0.40 -0.39 -0.37 -0.36
55 -0.60 -0.58 -0.52 -0.48
65 -0.80 -0.77 -0.67 -0.61
75 -1.00 -0.96 -0.82 -0.74

Pe masura ce ne uitam la scadente mai indepartate, gasim delta in descrestere pentru Call-uri ITM, si delta in crestere pentru Call-uri OTM. Pentru optiunile Put, situatia este inversata : gasim delta in crestere pentru Put-urile ITM, si delta in scadere pentru Put-urile OTM (sau putem sa consideram aceeasi situatie, dar aplicata valorilor absolute delta). Delta are tendinta de a ramane constanta pentru optiunile ATM. Pentru scadente mai indepartate, intervalul delta (delta maxim si minim per toate preturile de exercitiu) se reduce. Pe masura ce zilele trec , delta Call-urilor ITM va fi in crestere (pe masura ce sansa de a ramane ITM creste) si delta call-urilor OTM va fi descrescatoare (pe masura ce sansa lor de a deveni ITM scade). Acelasi proces se aplica valorilor absolute pentru delta optiunilor Put. Acest efect este cunoscut ca trompetizare (trumpification) , care este un efect delta cauzat de timp si volatilitate, care creste delta-urile optiunilor OTM si scade delta-urile optiunilor ITM, impingandu-le catre 0.5 (absolut)

Gamma

Gamma e a doua derivata a valorii optiunii, aratand cat de mult se misca delta la o miscare a pretului activului suport (delta deltei) .

Gamma fata de pretul activului suport

Graficul de mai sus arata gamma in relatie cu pretul activului-suport pentru 3 preturi de exercitiu diferite. Se poate vedea ca gamma creste pe masura ce optiunea se misca de la a fi ITM , atingang varful cand optiunea este ATM. Apoi pe masura ce optiunea se misca spre OTM, gamma scade. Gamma este de doua tipuri : lunga si scurta. Gamma lunga(numar pozitiv) se obtine cumparand o optiune, iar gamma scurta (numar negativ) se obtine vanzand o optiune. Gamma este la fel pentru Call si Put. Gamma este cea mai mare in luna din fata, la preturile de exercitiu ATM.

Pret Exercitiu Jun Jul Oct Jan
25 0.0000 0.0010 0.0070 0.0090
35 0.0044 0.0120 0.0168 0.0160
45 0.0396 0.0368 0.0264 0.0212
55 0.0750 0.0512 0.0312 0.0236
65 0.0378 0.0400 0.0296 0.0232
75 0.0040 0.0180 0.0230 0.0210

Gamma este aditiva, la fel ca si delta, iar suma tuturor gamma inmultite cu marimea pozitiei pentru optiunile unui anumit activ suport consitutie gamma pozitiei. Pastrarea activului suport in portofoliu nu are niciun efect asupra gammei de pozitie, caci are gamma egala cu zero, delta fiind constanta.

Gamma lunga: daca pretul activului suport creste, delta creste ; daca pretul activului suport scade, delta scade;
Gamma scurta: daca pretul activului suport creste, delta scade ; daca pretul activului suport scade, delta creste.

Gamma Trading

Permite sa “intorci” activul suport inainte si inapoi, fiind acoperit. Intr-o strategie Long Gamma Trading, alegi un underlying, il cumperi, si cumperi si Put-uri de acoperire. Din punctul de vedere al scadentei, toate miscarile in activul suport sunt anulate de Put-ul protectiv. Sa zicem ca ai cumparat activul suport la pretul S si Put-ul tau lung are gamma putere de a crea delta. Daca activul suport se misca la S+1 , Put-ul lung a creat deja gamma delta-uri. Aceste noi delta trebuie sa fie acoperite vanzand activ suport pentru acoperire. Activul suport se misca din nou la S, si acum ai -gamma delta de acoperit, care vor fi acoperite cumparand activ suport. Aceste tranzactii vor crea profit, dar trebuie luptat permanent cu declinul optiunii – pentru ca ai dat bani pe prima Put-ului, care decade constant ca un efect al timpului.
Strategia inversa, care pariaza ca declinul e mai mare decat miscarile activului suport, este Short Gamma Trading. Vom cumpara din nou underlying, dar in loc sa cumparam Puts, vom vinde Calls. Daca activul suport se misca la S+1 , Call-ul vandut a creat deja -gamma delta, care trebuie sa fie acoperit prin cumparare de activ suport. Activul suport se misca din nou la S, si acum ai gamma delta de acoperit , care se va face vanzand activ suport. Strategia va crea pierderi pe masura ce activul suport se misca incoace si-ncolo, dar scopul e sa colecteze prima din Call-urile vandute. Aceasta strategie e aplicabila cand avem momentum pe activul suport, adica atunci cand volatilitatea activului suport creste. Daca va aduceti aminte in articolul precedent din editia de Noiembrie, Analiza volatilitatii : de la previziunea volatilitatii la previziunea pretului am spus ca directia pretului e mai greu de previzionat decat volatilitatea. E convingerea mea ca analiza volatilitatii este pentru a fi folosita mai ales in tradingul cu optiuni decat in tradingul simplu al activului suport. Ne vom intoarce la aceste strategii imediat ce atat Strategy Tester cat si optiunile vor fi disponibile.

Vega – sensibilitatea la volatilitate

Si daca tot vorbim de influenta volatilitatii asupra pretului optiunii, vorbim de volatilitatea implicita , in loc de volatilitatea istorica (volatilitatea activului suport). Aceasta volatilitate implicita este acea volatilitate care pusa in modelul optiunii da pretul curent ca si valoare a optiunii. Din acest moment , “volatilitate” se va citi ca “volatilitate implicita”. Vega nu este o litera greaca, asa ca litera greaca folosita pentru vega este de fapt Nu (capital N, literal v). “Zambetul volatilitatii” se refera la diferite preturi de exercitiu in aceeasi luna. Este numit zambet deoarece optiunile ATM au cea mai mica volatilitate implicita, pe cand OTM si ITM au volatilitati mai mari. Ceea ce urmeaza este o tabela a unei suprafete de volatilitate. Seriile de preturi de exercitiu pe fiecare luna formeaza “zambetul volatilitatii” , iar pe luni, formeaza “panta volatilitatii”. Unele pachete software pot face si grafice ale suprafetei volatilitatii (ca aici de exemplu).

Strike Jun Jul Oct Jan
25 0.540 0.520 0.500 0.460
35 0.494 0.484 0.464 0.424
45 0.462 0.452 0.432 0.396
55 0.462 0.452 0.432 0.396
65 0.494 0.484 0.464 0.424
75 0.540 0.520 0.500 0.460

Zambetul si panta sunt feluri de a analiza daca volatilitatea este corecta. Spread-ul vertical este o strategie care se foloseste de un zambet evaluat gresit. Iar un spread temporal isi extrage profitul dintr-o evaluare gresita a pantei. A stabili daca volatilitatea e prea mare sau prea mica vizeaza in primul rand evolutia instorica a volatilitatilor implicite, si speram ca MetaQuotes va introduce in CopyRates() un tablou pentru accesul istoric la volatilitatea implicita. Volatilitatea influenteaza preturile optiunilor direct. Cand volatilitatea creste, preturile tuturor optiunilor cresc, iar cand volatilitatea scade, preturile tuturor optiunilor scad. Volatility are un efect invers asupra gammei. Cand volatilitatea creste, gamma scad, si viceversa.

Evolutia volatilitatii Delta de ITM Delta de ATM Delta de OTM
Creste Scade Variaza nesemnificativ Creste
Scade Creste Variaza nesemnificativ Scade

Vega arata cat de mult pretul optiunii se va misca la o modificare cu un punct procentual in volatilitate.

Vega fata de pretul activului suport

Si vega sunt aditive, dar este necesar ca preturile optiunilor sa fie ajustate la aceeasi volatilitate inainte ca analiza sa fie facuta. Aceasta se poate face alegand volatilitatea unei optiuni si ajustand celelalte optiuni la aceasta volatilitate, folosind coeficientii vega ale acestora.

Comportamentul vega intre strike-uri seamana cu gamma. Totusi, comportamentul vega este invers comparativ cu gamma. Pe masura ce scadentele merg mai departe, gamma scade, iar vega creste.
Avand un portofoliu de optiuni pe acelasi activ suport, impactul vega trebuie sa fie determinat dupa ce toate sunt aduse la aceeasi volatilitate (ca un numitor comun), prin adaugand, la fiecare dintre ele , n ticksi de volatilitate inmultiti cu fiecare vega care sa dea volatilitatea medie.

Vega este important, pentru ca pentru scadentele mai indepartate, poate fi mai puternic decat delta.

Theta – sensibilitatea fata de timp

Theta masoara declinul unei optiuni in timp. Declinul se aplica numai valorii extrinseci.
Valoarea unei optiuni se compune din valoarea intrinseca si valoarea extrinseca. Valoarea intrinseca
nu este subiect al declinului, pentru ca masoara componenta solida a optiunii la un moment din timp : diferenta dintre pretul activului suport si pretul de exercitiu pentru optiunile Call, sau invers, pentru optiunile Put. Valoarea extrinseca cuantifica sansa data de timpul pana la expirare : este diferenta dintre pretul optiunii si valoarea intrinseca. Sansa este data de timp, si de aceea valoarea extrinseca se mai numeste si valoare timp.

Pretul optiunii pe masura trecerii timpului

Trecerea timpului nu are efect numai asupra valorii optiunii, ci si asupra deltei. Pentru ca delta inseamna “sansa procentuala”, va scade delta optiunilor OTM, si va creste delta optiunilor ITM. Delta optiunilor ATM va ramane neafectata. Datorita influentei timpului asupra deltei, are efect si asupra gammei, depinzand unde era delta.

Theta , viewed across strikes and expiries, has quite the same pattern as gamma. Theta is always highest front month, ATM. However, front month very far ITM and OTM strikes might have smaller theta values than for the rest, because they lose their sensibility.

Rho – sensibilitatea fata de rata dobanzii

Rho is the schimbarea in valoarea optiunii care rezulta din miscari in ratele de dobanda.
Valoarea este reprezentata ca o schimbare in pretul teoretic al optiunii pentru un punct procentaul miscare in rata de dobanda care afecteaza activul suport. De exemplu, sa zicem ca ai o optiune Call cu o valoare teoretica de 2.50 care arata un Rho de 0.25. Daca rata dobanzii creste de la 5% la 6%, atunci pretul optiunii Call va creste de la 2.50 la 2.75.

Rho de optiune Call

Rho de optiune Put

Priveste graficele de mai sus, care deseneaza Rho a unei Call si a unei Put la 3 puncte din timp, pe o variatate de preturi de exercitiu, cu un pret al activului suport de 100.

Exista de asemenea sensibilitati de nivel secundar. Acestea cuantifica impactul volatilitatii si timpului asupra delta, gamma si theta.. Acestea ajuta traderii care tranzactioneaza optiuni intr-o maniera ne-automata, deoarece pot vedea impactul timpului si volatilitatii asupra primelor sensibilitati. Pe de alta parte, un EA de optiuni automate poate fi programat sa citeasca situatia portofoliului si primele sensibilitati pentru a restructura portofoliul in acord cu acestea.

O aplicatie a modelului Black-Scholes pentru optiuni europene incluzand determinarea sensibilitatilor poate fi gasita in articolul Metode virtuale in MQL5 – aplicatie asupra optiunilor .